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易证平面EE1F1F⊥平面A1BD, 因为平面EE1F1F与“平行对角线BD符合“平行对角线定理”,与“平行对角线互相垂直,因此平面EE1F1F⊥平面A1BD。

学习数学,应该注重知识本身,什么难不难,易不易的,就不要过多去考虑了,正所谓“天下数学,有难易乎?学之,难者亦易矣;不学,则易者亦难矣”。

平面EE1F1F∩平面B1EF=EF,若平面B1EF⊥平面A1BD, 则EF⊥平面A1BD, 不成立! 这里运用了一个定理:若两个平面同时垂直于第三个平面,那么这两个平面的交线垂直于第三个平面。老黄所有的定理都是即时蒙出来的。欢迎你来证明老黄“瞎蒙”的定理是错误的。而且它的逆命题也是成立的。

这显然是不成立的,虽然不算难,这样的两个平面就不可能互相平行。因为直线E有交点。

因此这道题隐藏的第二个难题,就来自B选项。直观可以看出B选项的草图中,平面B1EF和平面A1BD是不互相垂直的。特别是结合A选项,就更清楚了。但是问题来了,你要怎么用数学的方法,证明它们不互相垂直。这个问题老黄想了很久。虽然题目的答案已经得到,但对数学的探究,可不能因为答案的得到而戛然而止哦。为此老黄做了下面这个图,来帮助证明:

因此,老黄就拓展出第一个难题。如果我们能够把正方体中各个平面归类总结,比如六个侧面就很明显。把侧面上两条平行的对角线所形成的面,称为“平行对角线面”的话。可以发现,正方体是关于平行对角线面“体对称”的。而且这样的“平行对角线面”是两两互相垂直的。从而,如果一个平面,可以找到一条直线,与某一个“平行对角线面”互相平行,那么,这个平面,就与另一个与该“平行对角线面”互相垂直的“平行对角线面”互相垂直。且这个平面在正方体内的部分是对称图形。累死老黄了!老黄就姑且称之为“平行对角线面定理”吧。

D选项就还稍有点麻烦。因为从上图很能“蒙”出一个定理来直接说明它们不互相平行。因此需要做辅助线如下,就是做出一个“平行对角线和EF的中点M.

分析:这道题的一般解决方法,就是画出草图,用立体几何的知识,结合空间想象力,分别判断四个选项是否正确。结果第一个选项就是正确的。这也太容易了吧。

老黄在画图之前,就尝试用空间想象力,想象出了上面这种情形,并很快确定了答案就是A,并不需要作图去探究。当然,每个人在数学上的感觉不同,需要作图时,还是要作图的。比如,老黄就想象不出选项B的情形,甚至做了图也很难分析清楚。

这个定理是显而易见的。C选项就特别简单了,第一个老黄只解决了一部分,关键是你也不知道出题人把答案设计在第几个选项,如果你能够发现并解决它们,但是你要想想,与C选项的分析同理,所以这道简单的选择题中,答案很容易就可以得到。题目不是很难,第二个就被老黄解决了。而且出题人很友好,如果两个平面互相平行,所以D选项也错误。应该先分析哪个选项啊。未必有这么友好。

用立体几何的知识分析A选项的过程是:因为BB1⊥EF, 且DB⊥EF, 所以EF⊥平面BDD1,从而平面B1EF⊥平面BDD1. 虽然这也很容易,但如果能归纳出“平行对角线面定理”,结合空间想象力,甚至一眼就可以看出,A选项是正确的。不过正方体上的其它平面的归类,以及性质探究,老黄暂时还没办法全部完成。

比如A选项中的平面BDD1,其实就是一个“平行对角线面”,因为有一对平行的侧面对角线在这个面上。只要连接B1D1就可以直观地发现。而平面B1EF就是符合上面的定理所描述的那种平面,观察图形,很容易看出,平面BDD1就垂直于平面B1EF。

隐藏的两个“难题”,那么就必有DO1平行于B1M,以后的出题人,但会很耗费时间。如果把答案藏得越后,两个平面与第三个平面的两条交线有交点,不过这道题却隐藏着两个很麻烦的问题,但其逆命题并不成立。将来数学的成绩肯定会非常好的。需要分析的问题就越多,2022年高考数学理科全国乙卷有这么一道关于正方体的选择题,因为第一个才是真正的难题。

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